Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x²-x）
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）比較lnn與n²-n（n∈N^*）的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）當a=-1，f（x）=lnx-x²+x，x＞0，
f′（x）=-2x+1，
令f′（x）=0，得-2x+1=0，
∴2x²-x-1=0，
（2x+1）（x-1）=0，
x=1或x=-（舍），
列表討論：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值	↓

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）；函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞）．
函數(shù)不存在極小值，當x=1時取得極大值，
極大值為f（1）=ln1-1+1=0．
（2）∵f（x）=lnx+a（x²-x）的定義域為（0，+∞），且f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
∴=≤0在（0，+∞）有解，
即2ax²-ax+1≤0在（0，+∞）有解，
∴，
解得a≥8，或a＜0．
故實數(shù)a的取值范圍{a|a≥8，或a＜0}．
（3）lnn≤n²-n，（n∈N^*）．
證明：由（1）知，n∈N^*時，f（n）=lnn-n²+n是減函數(shù)，
且最大值為f（1）=ln1-1+1=0，
∴f（n）=lnn-n²+n≤0，
∴l(xiāng)nn≤n²-n，（n∈N^*）．
分析：（1）當a=-1，f（x）=lnx-x²+x，x＞0，故f′（x）=-2x+1，令f′（x）=0，得x=1或x=-（舍），列表討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）由f（x）=lnx+a（x²-x）的定義域為（0，+∞），且f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，知=≤0在（0，+∞）有解，即2ax²-ax+1≤0在（0，+∞）有解，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）由（1）知，n∈N^*時，f（n）=lnn-n²+n是減函數(shù)，且最大值為f（1）=ln1-1+1=0，故f（n）=lnn-n²+n≤0，由此能比較lnn與n²-n，（n∈N^*）的大�。�
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，判斷實數(shù)的取值范圍，比較大小．綜合性強，難度大．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．