已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x2-x)
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)比較lnn與n2-n(n∈N*)的大小,并證明你的結(jié)論.

解:(1)當(dāng)a=-1,f(x)=lnx-x2+x,x>0,
f′(x)=-2x+1,
令f′(x)=0,得-2x+1=0,
∴2x2-x-1=0,
(2x+1)(x-1)=0,
x=1或x=-(舍),
列表討論:
x (0,1) 1(1,+∞)
f′(x)+ 0-
f(x) 極大值
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1);函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,+∞).
函數(shù)不存在極小值,當(dāng)x=1時(shí)取得極大值,
極大值為f(1)=ln1-1+1=0.
(2)∵f(x)=lnx+a(x2-x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,
=≤0在(0,+∞)有解,
即2ax2-ax+1≤0在(0,+∞)有解,
,
解得a≥8,或a<0.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍{a|a≥8,或a<0}.
(3)lnn≤n2-n,(n∈N*).
證明:由(1)知,n∈N*時(shí),f(n)=lnn-n2+n是減函數(shù),
且最大值為f(1)=ln1-1+1=0,
∴f(n)=lnn-n2+n≤0,
∴l(xiāng)nn≤n2-n,(n∈N*).
分析:(1)當(dāng)a=-1,f(x)=lnx-x2+x,x>0,故f′(x)=-2x+1,令f′(x)=0,得x=1或x=-(舍),列表討論,能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
(2)由f(x)=lnx+a(x2-x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,知=≤0在(0,+∞)有解,即2ax2-ax+1≤0在(0,+∞)有解,由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)由(1)知,n∈N*時(shí),f(n)=lnn-n2+n是減函數(shù),且最大值為f(1)=ln1-1+1=0,故f(n)=lnn-n2+n≤0,由此能比較lnn與n2-n,(n∈N*)的大。
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法,判斷實(shí)數(shù)的取值范圍,比較大小.綜合性強(qiáng),難度大.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
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已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
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(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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