Question

如圖,已知兩個(gè)正四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的高都是2,AB=4.

(1)證明PQ⊥平面ABCD;

(2)求異面直線(xiàn)AQ與PB所成的角;

(3)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.

Answer 1

(1)證法一:連結(jié)AC,BD,設(shè)AC∩BD=O.

由P—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐,

所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.

從而P,O,Q三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上,

所以PQ⊥平面ABCD.

證法二:取AD的中點(diǎn)M,連結(jié)PM,QM.

因?yàn)镻—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐,

所以AD⊥PM,AD⊥QM.

從而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM,所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解:連結(jié)AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上,

從而P,A,Q,C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镺A=OC,OP=OQ,所以PAQC為平行四邊形,

AQ∥PC.

從而∠BPC(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)AQ與PB所成的角.

因?yàn)镻B=PC=,

所以cos∠BPC=.

從而異面直線(xiàn)AQ與PB所成的角是arccos.

(3)解:連結(jié)OM,則OM=AB=2=PQ.

所以∠PMQ=90°,即PM⊥MQ.

由(1)知AD⊥PM,所以PM⊥平面QAD.

從而PM的長(zhǎng)是點(diǎn)P到平面QAD的距離.

在直角△PMO中,PM=,

即點(diǎn)P到平面QAD的距離是.