Question

設(shè)雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。

   （Ⅰ）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

   （Ⅱ）求直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；

   （Ⅲ）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（Ⅰ）中的點(diǎn)）的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由題，得，設(shè)

則

由  …………①

又在雙曲線上，則   …………②

聯(lián)立①、②，解得    

由題意，

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0）   …………3分

（Ⅱ）設(shè)直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）

由A₁、P、M三點(diǎn)共線，得

   …………③  …………1分

由A₂、Q、M三點(diǎn)共線，得

   …………④  …………1分

聯(lián)立③、④，解得    …………1分

∵在雙曲線上，

∴

∴軌跡E的方程為  …………1分

（Ⅲ）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。

故可設(shè)直線l的方程為  中，得

  

設(shè)

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得  ……⑤

  ……⑥   …………2分

∵ ∴有

將⑤式平方除以⑥式，得

   …………1分

由

  …………1分

∵

又

故

令    ∴，即

∴

而 ，  ∴

∴