Question

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據(jù)數(shù)量積為零，得∠ABD=∠CBD=90°，故AC的中點(diǎn)O為外接球的球心，AC就是球的直徑．由面面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出AC²的值，結(jié)合球的表面積公式，可得外接球的表面積．
解答：解：根據(jù)題意，可知折疊后的三棱錐如右圖所示．
∵，∴∠ABD=∠CBD=90°，
由此可得AC的中點(diǎn)O即為外接球的球心
又∵二面角A-BD-C是直二面角，即平面ABD⊥平面BCD，且AB⊥BD
∴AB⊥平面BCD，可得△ABC是以AC為斜邊的直角三角形
∵
∴Rt△ABC中，=
從而三棱錐A-BCD的外接球的表面積S=4π•（）=π•AC²=
故答案為：D
點(diǎn)評：本題將平行四邊折疊，求折成三棱錐的外接球表面積，著重考查了面面垂直的性質(zhì)、球表面積公式和球內(nèi)接多面體的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．