Question

【題目】已知函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）求得的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成和兩種情況，分類討論的單調(diào)區(qū)間.

（2）首先判斷.解法一：構(gòu)造函數(shù)，求得的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成，兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合求得的取值范圍.解法二：當(dāng)時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性證得.當(dāng)時(shí)，同解法一，證得此時(shí)不滿足.

（1），

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，由得，所以在上單調(diào)遞減；

由得，所以在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）解法一：

當(dāng)時(shí)，，即，

所以，

令，

則

若，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，

，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以.

若，則，

，

由得，

所以，

所以，使得，且當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，不合題意.

綜上，的取值范圍為.

解法二：

當(dāng)時(shí)，，即，

所以，

若，由（1）知：在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，.

若，

令，

則

所以，

，

由得，

所以，

所以，使得，且當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，不合題意.

綜上，的取值范圍為.