Question

15、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證CD⊥平面A₁ABB₁，可先證平面ABC⊥平面A₁ABB₁，CD⊥AB，面ABC∩面A₁ABB₁=AB，滿足根據(jù)面面垂直的性質(zhì)；
（Ⅱ）欲證AC₁∥平面CDB₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC₁與平面CDB₁內(nèi)一直線平行，連接BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，連接DE．根據(jù)中位線可知DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，滿足定理所需條件．

解答：（Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面A₁ABB₁．
∵AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD⊥AB，面ABC∩面A₁ABB₁=AB
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）證明：連接BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，連接DE．
∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，
∴DE∥AC₁．∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．