Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓E的左右焦點，點P（1，

3

2

）為其上一點，且有|PF₁|+|PF₂|=4
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過F₁的直線l₁與橢圓E交于A，B兩點，過F₂與l₁平行的直線l₂與橢圓E交于C，D兩點，求四邊形ABCD的面積S_ABCD的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設橢圓E的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知|PF₁|+|PF₂|=4，

1

4

+

9

4b2

=1，由此能求出橢圓E的標準方程．
（II）由題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形，S_△ABCD=4S_△OAB，設直線AB的方程為x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，由此利用弦長公式能求出S_△BCD的最大值．

解答： 解：（I）設橢圓E的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
由已知|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，∴a=2，…（2分）
又點P（1，

3

2

）在橢圓上，∴

1

4

+

9

4b2

=1，∴b=

3

，
橢圓E的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（II）由題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形，
∴S_?ABCD=4S_△OAB，
設直線AB的方程為x=my-1，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²-6my-9=0，
∴y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，…（6分）
S_△OAB=S△OF1A+SOF1B=

1

2

|OF₁||y₁-y₂|=

1

2

|y1-y2|
=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=6

m2+1 (3m2+4)2

，…（9分）
令m²+1=t，則t≥1，S_△OAB=6

t (3t+1)2

=6

1 9t+ 1 t +6

，…（11分）
又∵g（t）=9t+

1

t

在[1，+∞）上單調遞增
∴g（t）≥g（1）=10，∴S_△OAB的最大值為

3

2

．
∴S_?ABCD的最大值為6．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．