Question

已知向量

a

=（2cosωx，cos2ωx），

b

=（sinωx，1）（其中ω＞0），令f（x）=

a

• 

b

，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f(

π

4

)的值；
（2）寫出f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把向量

a

=（2cosωx，cos2ωx），

b

=（sinωx，1）代入f（x）=

a

• 

b

，利用二倍角公式和兩角和的正弦函數(shù)化為：

2

sin(2ωx+

π

4

)，根據(jù)周期求出ω，然后求解f(

π

4

)的值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，選擇適當(dāng)?shù)膋值求出f(x)在[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cosωxsinωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)．
∵f（x）的最小正周期為π，∴ω=1．
∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f(

π

4

)=

2

sin(2×

π

4

+

π

4

)=1．（6分）

（2）∵f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

，

π

8

]．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查向量的數(shù)量積，二倍角和兩角和的正弦函數(shù)的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計(jì)算能力，是常考題型．