(本題滿分12分)
橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為.點(diǎn)P(1,)、A、B在橢圓E上,且+=m(mR).
(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率;
(2)當(dāng)m=-3時(shí),證明原點(diǎn)O是△PAB的重心,并求直線AB的方程.
(1);
(2)x+2y+2=0.
本試題主要是考查了橢圓方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
(1)由=解得a2=4,b2=3,
橢圓方程為;再設(shè)出點(diǎn)A,B,利用點(diǎn)差法得到斜率。
(2)由(1)知,點(diǎn)Ax1,y1)、Bx2,y2)的坐標(biāo)滿足
點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,), m=-3,   于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,
因此△PAB的重心坐標(biāo)為(0,0).即原點(diǎn)是△PAB的重心.
,進(jìn)而得到直線的方程。
解:(1)由=解得a2=4,b2=3,
橢圓方程為;
設(shè)Ax1,y1)、Bx2,y2),
x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即
,,兩式相減得
;
(2)由(1)知,點(diǎn)Ax1,y1)、Bx2,y2)的坐標(biāo)滿足,
點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,), m=-3,   于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0,
因此△PAB的重心坐標(biāo)為(0,0).即原點(diǎn)是△PAB的重心.
x1+x2=-1,y1+y2=-,∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),
,,兩式相減得
;
∴直線AB的方程為y+=x+),即x+2y+2=0.
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相關(guān)習(xí)題

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.(本小題滿分13分)
以橢圓的中心為圓心,為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,且滿足,.
(Ⅰ)求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程;
(Ⅱ)若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓交于兩點(diǎn),試證明:當(dāng)時(shí),試問弦的長(zhǎng)是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

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已知直線過雙曲線右焦點(diǎn),交雙曲線于,兩點(diǎn),
的最小值為2,則其離心率為(  )
A.B.C.2D.3

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過橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為______________

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若橢圓C:上有一動(dòng)點(diǎn)P,P到橢圓C的兩焦點(diǎn) F1,F(xiàn)2的距離之和等于2,△PF1F2的面積最大值為1
(I)求橢圓的方程
(II)若過點(diǎn)M(2,0)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B,(O為坐標(biāo)原點(diǎn))且| ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn),又、,是原點(diǎn),則四邊形的面積的最大值是           。

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已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率,其焦點(diǎn)到漸近線的距離為1,則此雙曲線的方程為(        )
A.B.
C.D.

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橢圓的離心率為(  )
A.B.C.D.

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橢圓 的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,如果線段的中點(diǎn)在軸上,那么的(   )
A.B.C.D.

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