在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知向量
m
=(cos
3A
2
，sin
3A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)且 |
m
+
n
|=
3
．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB+sinC=
3
sinA，求證△ABC是直角三角形．
分析：（1）利用|
m
+
n
|=
3
，得到cosA=
1
2
，然后求角A的大�。�
（2）利用B+C=120°化簡sinB+sinC=
3
sinA，通過兩角和的正弦函數(shù)求出B的大小，然后證明△ABC是直角三角形．
解答：解：（1）|
m
+
n
|=|(cos
3A
2
+cos
A
2
，sin
3A
2
+sin
A
2
)|（2分）
=
2+2(cos
3A
2
cos
A
2
+sin
3A
2
sin
A
2
)
=
2+2cosA
=
3
（5分）
∴cosA=
1
2
，則A=60°（7分）
（2）證明：B+C=120°，所以，sinB+sin(120°-B)=
3
2
（8分）
sinB+
3
2
cosB+
1
2
sinB=
3
2
，則
1
2
cosB+
3
2
sinB=
3
2
（9分）
sin(B+30°)=
3
2
，
所以B+30°=60°或B+30°=120°（12分）
B=30°，則C=90°，或B=90°．
所以△ABC是直角三角形（14分）
點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，推理證明能力．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若b2+c2-a2=
3
bc，且b=
3
a，則下列關(guān)系一定不成立的是（　�。�
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=-
1114
．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（1）求角B的大小；
（2）若a=4，c=3，D為BC的中點，求△ABC的面積及AD的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA
．
（1）求∠A的值；
（2）求用角B表示
2
sinB-cosC，并求它的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a=
5
，b=3，sinC=2sinA，則sinA=
 
．

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