設(shè)曲線(xiàn)C：y=-ln x（0＜x≤1）在點(diǎn)M（e-t，t）（t≥0）處的切線(xiàn)為l．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）若直線(xiàn)l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值．
【答案】分析：（1）求出曲線(xiàn)方程的導(dǎo)函數(shù)，把M的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)即可求出切線(xiàn)方程的斜率，根據(jù)M的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可；
（2）令切線(xiàn)方程中的x=0求出與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令y=0求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式表示出面積與t的函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)t的值，由t的值，在t大于等于0上，分別討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最大值即可．
解答：解：（1）∵y′=（-lnx）′=-（0＜x≤1），
∴在點(diǎn)M（e-t，t）處的切線(xiàn)l的斜率為-et，
故切線(xiàn)l的方程為y-t=-et（x-e-t），
即etx+y-1-t=0；
（2）令x=0，得y=t+1；再令y=0，得x=．
∴S（t）=（t+1）=（t+1）2e-t（t≥0）．
從而S′（t）=e-t（1-t）（1+t）．
∵當(dāng)t∈[0，1）時(shí)，S′（t）＞0；
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，S′（t）＜0，
∴S（t）的最大值為S（1）=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，掌握導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用，是一道綜合題．
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精英家教網(wǎng)如圖，過(guò)曲線(xiàn)C：y=e-x上一點(diǎn)P0（0，1）做曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l0交x軸于Q1（x1，0）點(diǎn)，又過(guò)Q1做x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P1（x1，y1）點(diǎn)，然后再過(guò)P1（x1，y1）做曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l1交x軸于Q2（x2，0），又過(guò)Q2做x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P2（x2，y2），…，以此類(lèi)推，過(guò)點(diǎn)Pn的切線(xiàn)ln與x軸相交于點(diǎn)Qn+1（xn+1，0），再過(guò)點(diǎn)Qn+1做x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)Pn+1（xn+1，yn+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x1、x2及數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)曲線(xiàn)C與切線(xiàn)ln及垂線(xiàn)Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達(dá)式；
（3）若數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)之和為T(mén)n，求證：
Tn+1
Tn
＜
xn+1
xn
（n∈N+）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)曲線(xiàn)C：y=-ln x（0＜x≤1）在點(diǎn)M（e-t，t）（t≥0）處的切線(xiàn)為l．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
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設(shè)曲線(xiàn)C：y=-ln x（0＜x≤1）在點(diǎn)M（e-t，t）（t≥0）處的切線(xiàn)為l．
（1）求直線(xiàn)l的方程；
（2）若直線(xiàn)l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年廣東省廣州市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

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（1）求x1、x2及數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)曲線(xiàn)C與切線(xiàn)ln及垂線(xiàn)Pn+1Qn+1所圍成的圖形面積為Sn，求Sn的表達(dá)式；
（3）若數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)之和為T(mén)n，求證：（n∈N+）．

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