Question

已知點(diǎn)F是拋物線(xiàn)y²=6x的焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)內(nèi)有一定點(diǎn)A（2，3），P是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，要使△PAF的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（

3

2

，3）

．

Answer 1

分析：由題意可求得F（

3

2

，0），設(shè)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y²=6x的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為M，利用拋物線(xiàn)的定義可知|PF|=|PM|，要使△PAF的周長(zhǎng)最小，只需|PM|+|PA|最小即可，而M，P，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)可滿(mǎn)足，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線(xiàn)y²=6x的焦點(diǎn)F（

3

2

，0），
設(shè)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y²=6x的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為M，則|PF|=|PM|，
∴△PAF的周長(zhǎng)l=|PF|+|PA|+|AF|=|PM|+|PA|+|AF|，
∴M，P，A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PM|+|PA|=|AM|，△PAF的周長(zhǎng)l最小；
又點(diǎn)A（2，3），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y_P=3，又P是拋物線(xiàn)y²=6x的一點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_P=

3

2

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，3）．
故答案為：（

3

2

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考察拋物線(xiàn)的定義的應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．