Question

10．E、F分別是邊長為1的正方形ABCD兩對邊AD，BC的中點，沿EF把CDEF折起，折成一個二面角D-EF-B是45°的幾何圖形，下面命題中：
①∠AED=45°；
②異面直線EF與AC所成角的正切值是$\frac{{\sqrt{2-\sqrt{2}}}}{2}$；
③三棱錐C-ABF的體積等于$\frac{{\sqrt{2}}}{48}$．
正確命題的序號有：①②③．

Answer 1

分析 由EF⊥平面ADE得出EF⊥平面ADE得出AB⊥平面ADE，故而AB⊥BC，結合三棱錐的等體積法，從而判定．

解答 解：如圖所示，由已知得ED⊥EF，AE⊥EF，∴∠AED就是二面角D-EF-B的平面角，∴①∠AED=45°正確；
∵EF∥AB，∴異面直線EF與AC所成角等于∠CAB，在△CFB中，由余弦定理可得BC=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$；
在直角三角形ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，故②正確；
三棱錐C-ABF的體積等于三棱錐A-CBF的體積等于$\frac{1}{3}×{s}_{△BCF}×AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×sin4{5}^{0}$=$\frac{\sqrt{2}}{48}$
故答案為：①②③

點評 本題考查了線面垂直的判定，異面直線夾角，棱錐的體積計算，屬于中檔題．