Question

5．（1）如圖1，矩形ABCD中AB=1，AD＞1且AD長(zhǎng)不定，將△BCE沿CE折起，使得折起后點(diǎn)B落到AD邊上，設(shè)∠BCE=θ，CE=L，求L關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式并求L的最小值．
（2）如圖2，矩形ABCD中AB=1．將矩形折起，使得點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，當(dāng)點(diǎn)F取遍CD邊上每一個(gè)點(diǎn)時(shí)，得到的每一條折痕都與邊AD、CB相交，求邊AD長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖1及對(duì)稱性知，CF=CB=Lcosθ，F(xiàn)E=BE=Lsinθ，又∠FEA=∠FCB=2θ，
得AE=FEcos2θ=Lsinθcos2θ，由AE+BE=Lsinθcos2θ+Lsinθ=1得，
L=$\frac{1}{sinθ+sinθcos2θ}$，利用導(dǎo)數(shù)求解
（2）當(dāng)著痕GH經(jīng)過AD，BC中點(diǎn)時(shí)，B與C重合，當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，點(diǎn)B與A重合時(shí)，折痕剛好為對(duì)角線，AD≥BC

解答 解：（1）由圖1及對(duì)稱性知，
CF=CB=Lcosθ，F(xiàn)E=BE=Lsinθ，
又∠FEA=∠FCB=2θ，
∴AE=FEcos2θ=Lsinθcos2θ，
由AE+BE=Lsinθcos2θ+Lsinθ=1得，
L=$\frac{1}{sinθ+sinθcos2θ}$，
即L關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式
L=$\frac{1}{sinθ+sinθcos2θ}$，
θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
L′=$\frac{2cosθ（2si{n}^{2}θ-co{s}^{2}θ）}{4si{n}^{2}θco{s}^{4}θ}$=0，
可得tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$，L′＞0，函數(shù)L遞增；
0＜θ＜arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$，L′＜0，函數(shù)L遞減．
可得L=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}×（1-2×\frac{1}{3}）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
此時(shí)L取得最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）如下圖，當(dāng)著痕GH經(jīng)過AD，BC中點(diǎn)時(shí)，B與C重合，
當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，點(diǎn)B與A重合時(shí)，折痕剛好為對(duì)角線，
AD≥BC，∴AD的范圍是[1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的對(duì)折問題、直角三角形的邊角關(guān)系、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．