Question

如圖，直線 l₁：y=kx+1-k（k≠0，k≠±）與l₂：相交于點(diǎn)P，直線l₁與x軸交于點(diǎn)P₁，過(guò)點(diǎn)P₁作x軸的垂線交直線l₂于點(diǎn)Q₁，過(guò)點(diǎn)Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點(diǎn)P₂，過(guò)點(diǎn)P₂作x軸的垂線交直線l₂于點(diǎn)Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點(diǎn)P_n（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}。

（1）證明，n∈N*；
（2）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（3）比較2|PP_n|²與4k²|PP₁|²+5的大小。

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)是，
由已知條件得點(diǎn)Q_n、P_n+1的坐標(biāo)分別是：
由P_n+1在直線l₁上，得
所以
即。
（2）由題設(shè)知
又由（1）知，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列
從而
即。
（3）由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）
所以

（i）當(dāng)，即或時(shí)
>1+9=10
而此時(shí)
所以
故
（ii）當(dāng)，即時(shí)，＜1+9=10
而此時(shí)
所以
故。