Question

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函數(shù)y=f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f'（-1）=0，可求得函數(shù)解析式，進(jìn)而可研究函數(shù)的單調(diào)性，從而確定極值，進(jìn)而可知最值；
（2）根據(jù)切線與橫軸平行，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得到函數(shù)等于0有實(shí)根，得到關(guān)于一元二次方程的判別式，求出結(jié)果．
解答：解：（1）∵f'（-1）=0，∴3-2a+1=0，即a=2．         …（2分）
∴．
由f'（x）＞0，得x＜-1或；                     …（4分）
由f'（x）＜0，得．因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，；
單調(diào)減區(qū)間為．                                   …（6分）
f（x）在x=-1取得極大值為f（-1）=2；f（x）在取得極小值為．
由∵，f（1）=6且
∴f（x）在[-，1]上的最大值為f（1）=6，最小值為．   …（8分）
（2）∵f（x）=x³+ax²+x+a，∴f'（x）=3x²+2ax+1．
∵函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，∴f'（x）=0有實(shí)數(shù)解．   …（10分）
∴△=4a²-4×3×1≥0，∴a²≥3，即 ．
因此，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是．             …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力．