在平面直角坐標系xOy中,拋物線C的頂點在原點,焦點F的坐標為(1,0).
(1)求拋物線C的標準方程;
(2)設M,N是拋物線C的準線上的兩個動點,且它們的縱坐標之積為-4,直線MO,NO與拋物線的交點分別為點A、B,求證:動直線AB恒過一個定點.
【答案】
分析:(1)先設出拋物線的標準方程,根據(jù)焦點坐標求出p的值,代入可得到答案.
(2)先求出準線方程,設出兩個動點的坐標設M(-1,y
1),N(-1,y
2),其中y
1y
2=-4,然后將y=-y
1x、y=-y
2x與y
2=4x聯(lián)立方程求出A,B的坐標,進而得到直線AB的方程整理后可以得到(y
1+y
2)y-4x+4=0,可求定點坐標.
解答:解:(1)設拋物線的標準方程為y
2=2px(p>0),則
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,p=2
所以拋物線C的標準方程為y
2=4x
(2)拋物線C的準線方程為x=-1,設M(-1,y
1),N(-1,y
2),其中y
1y
2=-4
則直線MO的方程為:y=-y
1x
將y=-y
1x與y
2=4x聯(lián)立方程,解得A點的坐標為(
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,-

)
同理可得B點的坐標為(

,-

)
則直線AB的方程為:

整理,得(y
1+y
2)y-4x+4=0
由

解得
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故動直線AB恒過一個定點(1,0).
點評:本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的聯(lián)立問題.直線與圓錐曲線的綜合題是高考的必考題,常以壓軸的題目出現(xiàn).