Question

求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積．

Answer 1

(1)化整為零，插入等分點．
將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，用分點
，，…，把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間，，…，，…，.簡寫作： (i＝1,2，…，n)．
每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝.
過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：
ΔS₁，ΔS₂，…，ΔS_i，…，ΔS_n.
(2)以直代曲，估計誤差．
用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積．
在小區(qū)間上任取一點x_i(i＝1,2，…，n)，
為了計算方便，取x_i為小區(qū)間的左端點，用x_i對應(yīng)的函數(shù)值f(x_i)＝為一邊，以小區(qū)間長度Δx＝為鄰邊的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為：ΔS_i≈f(x_i)·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)積零成整，精益求精．
因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值．即：
S＝_i≈ (x_i)Δx＝＝－.①
當分點數(shù)目越多，即Δx越小時，和式①的值就越接近曲邊梯形的面積S.因此，當n趨于＋∞時，即Δx趨于0時，和式①的極限值就是所求曲邊梯形的面積．
Δx趨于0時，S趨于－(負號表示圖象在x軸下方)．所以，由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積是.