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已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e，且b，e，
1
3
為等比數列，曲線y=8-x2恰好過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設雙曲線C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的頂點和焦點分別是橢圓C1的焦點和頂點，設O為坐標原點，點A，B分別是C1和C2上的點，問是否存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
．請說明理由．若存在，請求出直線AB的方程．
分析：（1）先確定c的值，再利用b，e，
1
3
為等比數列，結合a2=b2+c2，求出幾何量，即可得到橢圓C1的方程；
（2）假設存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
，則O，A，B三點共線且A，B不在y軸上，設出直線方程與橢圓、雙曲線聯立，利用共線得到k的方程，即可得到結論．
解答：解：（1）由y=8-x2=0可得x=±2
2

∴橢圓的焦點坐標為（±2
2
，0），即c=2
2

∵b，e，
1
3
為等比數列，
∴(
c
a
)2=
1
3
b
∵a2=b2+c2
∴a=2
3
，b=2
∴橢圓C1的方程為
x2
12
+
y2
4
=1；
（2）假設存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
，則O，A，B三點共線且A，B不在y軸上，
設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx
由（1）知，C2的方程為
x2
8
-
y2
4
=1
直線與橢圓方程聯立，可得（1+3k2）x2=12，即x12=
12
1+3k2

直線方程與雙曲線方程聯立，可得（1-2k2）x2=8，即x22=
8
1-2k2

∵
OA
=
1
2
OB
，∴x12=
1
4
x22
∴
12
1+3k2
=
8
1-2k2

∴k2=
1
3

∴k=±
3
3

∴存在A，B滿足
OA
=
1
2
OB
，此時直線AB的方程為y=±
3
3
x．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓、雙曲線的位置關系，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C1上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，
1
7
）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=
25
4
，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內取雙曲線C2上一點P，連接AP交橢圓C1于點M，連接PB并延長交橢圓C1于點N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，離心率e=
1
2

（1）設拋物線C2：y2=4x的準線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點，問是否存在常數λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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