Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求點(diǎn)A到平面BMD的距離．

Answer 1

（1）證明：設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，則由底面ABCD是平行四邊形可得O為AC的中點(diǎn)．
由于點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，故MO為三角形PAC的中位線，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD內(nèi)，而MO在平面BMD內(nèi)，
故有PA∥平面BMD．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四邊形ABCD中，∵∠BCD=60°，AB=2AD，
∴cos∠BAD==cos60°=，∴AD⊥BD．
這樣，AD垂直于平面PBD內(nèi)的兩條相交直線，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．
（3）若AB=PD=2，則AD=1，BD=AB•sin∠BAD=2×=，
由于平面BMD經(jīng)過AC的中點(diǎn)，故點(diǎn)A到平面BMD的距離等于點(diǎn)C到平面BMD的距離．
取CD得中點(diǎn)N，則MN⊥平面ABCD，且MN=PD=1．
設(shè)點(diǎn)C到平面MBD的距離為h，則h為所求．
由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC為直角三角形．
由于點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得MD=MB，故三角形MBD為等腰三角形，
故MO⊥BD．
由于PA===，∴MO=．
由V_M-BCD=V_C-MBD 可得，•（）•MN=•（×BD×MO ）×h，
故有 ×（）×1=•（）•h，
解得h=．
分析：（1）設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O，MO為三角形PAC的中位線可得MO∥PA，再利用直線和平面平行的判定定理，證得結(jié)論．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD==，證得 AD⊥BD，可證AD⊥平面PBD，從而證得結(jié)論．
（3）點(diǎn)A到平面BMD的距離等于點(diǎn)C到平面BMD的距離h，求出MN、MO的值，利用等體積法求得點(diǎn)C到平面MBD的距離h．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，直線和平面垂直的性質(zhì)，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．