Question

如圖，四棱錐B-ACDE中，底面ACDE為直角梯形，CD∥AE，∠BCD=∠ACD=90°，二面角A-CD-B為60°，AE=BC=2，AC=CD=1．
（1）求證：AC⊥BE；
（2）求BD與面ABE所成角的正弦值；
（3）求二面角A-BE-D的大小的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出∠BCA=60°，從而得到BC⊥CD，由此能夠證明AC⊥BE．
（2）過D點作AE的垂線，垂足為F，由已知條件推導出∠BDF為BD與面ABE所成的角，由此能求出BD與面ABE所成角的正弦值．
（3）作FG⊥BE，連結(jié)DG，由已知條件推導出∠DGF是A-BE-D的二面角，由此能求出二面角A-BE-D的余弦值．

解答： （1）證明：∵∠BCD=∠ACD=90°
∴AC⊥CD，BC⊥CD，
∴∠BCA為二面角A-CD-B的平面角，
∵二面角A-CD-B為60°，∴∠BCA=60°，
∵在△ABC中，BC=2，AC=1，∠BCA=60°，
∴∠ABC=30°，∠BAC=90°，即BC⊥CD，
∴AC⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，
∴AC⊥BE．
（2）過D點作AE的垂線，垂足為F，
∵AC⊥平面ABE，∴DF∥AC，∵AC⊥BE，
∴DF⊥面ABE 即∠BDF為BD與面ABE所成的角，
∵DF=AC=2，BC=2，CD=1，
∴BD=

BC2+CD2

=

5

，BF=

BD2-DE2

=2，
∴sin∠BDF=

BF

BD

=

2 5

5

．
∴BD與面ABE所成角的正弦值為

2 5

5

．
（3）作FG⊥BE，連結(jié)DG，
∵DF⊥面ABE，DF⊥BE，F(xiàn)G⊥BE，
∴BE⊥平面DFG，∴DG⊥BE，
∴∠DGF是A-BE-D的二面角，
AB²+AF²=BF²，∴∠BAF=90°，
BE=

AB2 +AE2

=

7

，EF=AE-AF=1，
在△DEF中，DE=

DF2+EF2

=

2

，
在△BDE中，BD²+CE²=BE²，∴∠BDE=90°，
∵S_△BDE=

1

2

BD•DE=

1

2

BE•DG，
∴DG=

BD•DE

BE

=

10 7

，
∵DF⊥面ABE，∴DF⊥FG，∴

3 7

，
∴cos∠DGF=

FG

DG

=

30

10

，
∴二面角A-BE-D的余弦值為

30

10

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．