Question

已知函數(shù)（x∈R），且．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義法證明；
（2）若，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由求出m的值，得到函數(shù)f（x）的解析式．任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．
（2）由（1）知函數(shù)y=f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)題意脫去函數(shù)符號(hào)“f“，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的分式不等式，解之即得．
解答：解：（1）由已知得，m³=8，∴m=2…（3分）
∴==
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂則==
∵，∴
又∵x₂＞x₁，∴，∴
∴，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函數(shù)y=f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．                       …（9分）
（2）∵，由（1）知函數(shù)y=f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)，
∴，
化簡得，
∴…（14分）（不寫集合形式不扣分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．