Question

當(dāng)n∈N^*時(shí)，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，記
S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2ⁿ）（n∈N），則S（n）=

 

．

Answer 1

分析：由題意當(dāng)n∈N^*時(shí)，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，利用此定義有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…從寫出的這些項(xiàng)及S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2ⁿ）利用累加法即可求得．

解答：解：因?yàn)楫?dāng)n∈N^*時(shí)，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，利用此定義有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…，N（所以S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ），
而S₂-S₁=N（3）+N（4）=4，
S₃-S₂=N（5）+N（6）+N（7）+N（8）=16，
 S₄-S₃=64，
…
S_n-S_n-1=N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2^n-1+2^n-1）=4^n-1．
以上各式相加得：Sn-S1=

4(1-4n-1)

1-4

，而S₁=N（1）+N（2）=2，代入得到：Sn=

4n+2

3

．

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了學(xué)生對于新定義的準(zhǔn)確理解，另外找準(zhǔn)要求的和式具體的數(shù)據(jù)，有觀察分析要求的和式的特點(diǎn)選擇累加求和，并計(jì)算中需用等比數(shù)列的求和公式，累加法注意寫出的式子必須是減號(hào)且出現(xiàn)前后可以抵消的式子才可用此方法，重點(diǎn)是了學(xué)生的理解能力及計(jì)算能力．