Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，D₁D=2，點P在棱CC₁上，且．
（1）求PC的長；
（2）求鈍二面角A-A₁B-P的大�。�

Answer 1

解：（1）如圖，以點D為原點O，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，2），
設P（0，1，λ），其中λ∈[0，2]，
因為，所以，
即（-1，1，λ-2）•（-1，0，λ）=0，得λ=1，
此時P（0，1，1），即有PC=1；
（2）平面AA₁B的一個法向量為，
設平面A₁BP的一個法向量為=（x，y，z），
則即
不妨取x=1，則y=2，z=1，即=（1，2，1），
所以=，
所以，鈍二面角A-A₁B-P的大小為π-arccos．
分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用，可得，由此可求PC的長；
（2）求出平面AA₁B的一個法向量為，平面A₁BP的一個法向量為=（1，0，-1），利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
點評：本題主要考查空間向量的應用，考查向量的夾角公式，考查運算求解能力，屬于中檔題．