橢圓C的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，斜率為1的直L與橢C交于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點．
（Ⅰ）若橢圓的離心率e=
3
2
，直線l過點M（b，0），且
OA
•
OB
=-
12
5
，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過橢圓的右焦點F，設向量
OP
=λ（
OA
+
OB
）（λ＞0），若點P在橢C上，λ的取值范圍．
分析：（Ⅰ）由e=
3
2
，知a=2b，c=
3
b．由
y=x-b
x2+4y2=4b2
，知A(
8b
5
，
3b
5
)，B（0，-b）．再由
OA
•
OB
=-
12
5
能推導出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由
y=x-c
b2x2+a2y2=a2b2
，得（b2+a2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0，由韋達定理知
OA
+
OB
=(
2a2c
a2+b2
，
-2b2c
a2+b2
)，
OP
=(
2λa2c
a2+b2
，
-2λb2c
a2+b2
 )．再由點P在橢圓C上，知λ2=
a2+b2
4c2
=
2a2-c2
4c2
=
1
2e2
-
1
4
＞
1
4
，由此能導出λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵e=
3
2
，∴a=2b，c=
3
b．
y=x-b
x2+4y2=4b2
，
∴A(
8b
5
，
3b
5
)，B（0，-b）．
∵
OA
•
OB
=-
12
5
，∴-
3b2
5
=-
12
5
，b2=4，a2=16．
∴橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
4
=1．（5分）
（Ⅱ）由
y=x-c
b2x2+a2y2=a2b2
，
得（b2+a2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0，
x1+x2 =
2a2c
a2+b2
，y1+y2=
-2b2c
a2+b2
．
OA
+
OB
=(
2a2c
a2+b2
，
-2b2c
a2+b2
)，
OP
=(
2λa2c
a2+b2
，
-2λb2c
a2+b2
 )．
∵點P在橢圓C上，將點P坐標代入橢圓方程中得λ2=
a2+b2
4c2
．
∵b2+c2=a2，0＜e＜1，
∴λ2=
a2+b2
4c2
=
2a2-c2
4c2
=
1
2e2
-
1
4
＞
1
4
，
∴λ＞
1
2
．（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和求實數(shù)λ的取值范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=0，若過A，Q，F(xiàn)2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切．過定點M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l1的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形．如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數(shù)λ滿足
MG
=λ
MH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，F(xiàn)(
2
，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點，若線段AB中點在直線x+2y=0上，求△FAB的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•肇慶二模）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點．
（1）設橢圓C上的點(
2
2
，
3
2
)到F1，F(xiàn)2兩點距離之和等于2
2
，寫出橢圓C的方程；
（2）設過（1）中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF1的面積；
（3）設點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPN，kPN試探究kPN•kPN的值是否與點P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

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