Question

已知函數f（x）及其導數f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），則稱x₀是f（x）的一個“巧值點”，下列函數中，有“巧值點”的函數的個數是（　�。�
①f（x）=x²，②f（x）=e^-x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，⑤f(x)=x+

1

x

．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義

分析：根據“巧值點”的定義，對①②③④⑤五個命題逐一判斷即可得到答案．

解答： 解：①中的函數f（x）=x²，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x²=2x，解得x=0或2，可見函數有巧值點；
對于②中的函數，要使f（x）=f′（x），則e^-x=-e^-x，由對任意的x，有e^-x＞0，可知方程無解，原函數沒有巧值點；
對于③中的函數，要使f（x）=f′（x），則lnx=

1

x

，

由函數f（x）=lnx與y=

1

x

的圖象知，它們有交點，因此方程有解，原函數有巧值點；
對于④中的函數，要使f（x）=f′（x），則tanx=

1

cos2x

，即sinxcosx=1，sin2x=2，顯然無解，原函數沒有巧值點；
對于⑤中的函數，要使f（x）=f′（x），則x+

1

x

=1-

1

x2

，即x³-x²+x+1=0，
設函數g（x）=x³-x²+x+1，g′（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
顯然函數g（x）在（-1，0）上有零點，原函數有巧值點．
故有“巧值點”的函數為①③⑤，共3個．
故選：B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查導數的應用，突出等價轉化思想與數形結合思想的考查，屬于難題．