Question

如圖，已知PO⊥平面ABCD，點O在AB上，EA∥PO，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，且BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

1

2

CD．
（Ⅰ）求證：PE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角C-PB-D的大小；
（Ⅲ）在線段PE上是否存在一點M，使DM∥平面PBC，若存在求出點M；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意及圖形建立空間直角坐標(biāo)系，寫出個點的坐標(biāo)，利用線面垂直的判定定理進(jìn)行求證；
（II）由題意及（I）利用平面的法向量所稱夾角與二面角平面角的大小關(guān)系求出二面角的大��；
（III）假設(shè)在線段PE上存在一點M，使DM∥平面PBC，利用向量的知識建立未知量的方程進(jìn)，進(jìn)而求解．

解答：證明：（Ⅰ）連接DO，BO∥CD且BO=CD，則四邊形BODC是平行四邊形，
故BC∥OD，又BC⊥AB，則BO⊥OD，因為PO⊥平面ABCD，
可知OD、OB、OP兩兩垂直，分別以O(shè)D、OB、OP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AO=1，則B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，-1，1），P（0，0，2），
則

PE

=(0，-1，-1)，

PB

=(0，2，-2)，

BC

=(2，0，0)．
則

PE

•

PB

=0，

PE

•

BC

=0，故PE⊥PB，PE⊥BC，又PB∩BC=B，
∴PE⊥平面PBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面PBC的一個法向量

n1

=

PE

=(0，-1，-1)，設(shè)面PBD的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，

PB

=(0，2，-2)，

BD

=(2，-2，0)，
由

n2 • PB =0 n2 • BD =0

得

2y-2z=0 2x-2y=0

取

n2

=(1，1，1)，
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-2

2 • 3

=-

6

3

，
故二面角C-PB-D的大小為arccos

6

3

．
（Ⅲ）存在滿足條件的點M．
由（Ⅰ）可知，向量

PE

是平面PBC的一個法向量，
若在線段PE上存在一點M，使DM∥平面PBC，設(shè)

PM

=λ

PE

，
則

DM

=

DP

+

PM

=(-2，0，2)+λ(0，-1，-1)=(-2，-λ，2-λ)，由

DM

•

PE

=0，
得λ-（2-λ）=0，∴λ=1，即M點與線段PE的端點E重合．

點評：此題重點考查了建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的知識證明可線面垂直，利用空間向量的知識求解二面角的大小．還考查了利用向量的知識及方程的思想求解問題．