已知函數(shù)f(x)=
ax2+x-1
ex

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)當(dāng)-
1
2
≤a<0
時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若f(x)+3≥0恒成立,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)在[1,3]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)求導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)利用導(dǎo)數(shù)利用條件f(x)+3≥0恒成立,求a的取值范圍.
解答:解:(1)當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=
2-x
ex
,若f'(x)≥0,則x<2,若f'(x)<0,則x>2.
所以當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)取得即極大值即最大值f(2)=
1
e2
,因?yàn)閒(1)=0,f(3)=
2
e3
>0,
所以最小組為0.
(2)求導(dǎo),得f′(x)=
(ax+1)(2-x)
ex
,令f'(x)=0,則(ax+1)(2-x)=0,
當(dāng)a≠0時(shí),方程二根為-
1
a
和2.
因?yàn)?span id="icg52pc" class="MathJye">-
1
2
≤a<0,所以-
1
a
>2

由f'(x)<0得,x>-
1
a
或x<2,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,
由f'(x)>0,得-
1
a
<x<2
,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.
(3)由f(x)+3≥0得ax2≥1-x-3ex,當(dāng)x=0時(shí),f(x)+3≥0恒成立.
當(dāng)x≠0時(shí),若f(x)+3≥0恒成立,即a≥
1-x-3ex
x2
恒成立,令g(x)=
1-x-3ex
x2
,只需求其最大值即可.
g′(x)=
x(3ex-1)(2-x)
x4
=0
,得x=2或x=-ln3.
當(dāng)-ln3<x<0或0<x<2時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x<-ln3或x>2時(shí),g'(x)<0,
所以當(dāng)x變化時(shí),g(x),g'(x)的變化情況如下表:
 x  (-∞,ln3) -ln3  (-ln3,0) (0,2) (2,+∞)
 g'(x) + -   +  0 -
 g(x)  遞增 極大值  遞減     遞增  極大值 遞減
由上表可知,f(x)的極大值是f(-ln3)=
1
ln3
和g(2)=-
3e2+1
4
,f(x)的最大值是f(-ln3)=
1
ln3

所以要使f(x)+3≥0恒成立,則a≥
1
ln3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最值問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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