Question

已知a＞0，函數(shù)，g(x)=-ax+1，x∈R，
(Ⅰ)當a=1時，求函數(shù)f(x)在點(1，f(1))的切線方程；
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1，1]的極值；
(Ⅲ)若在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)x₀，使f(x₀)＞g(x₀)成立，求正實數(shù)a的取值范圍。

Answer 1

解：由，
求導得，f′(x)=a²x²-2ax，
(Ⅰ)當a=1時，f′(1)=-1，f(1)=0，
所以f(x)在點(1，f(1))的切線方程是y=-x+1；
(Ⅱ)令f′(x)=0得x₁=0，，
(1)當即a＞2時，

故f(x)的極大值是，極小值是；
(2)當即0＜a≤2時，f(x)在(-1，0)上遞增，在(0，1)上遞減，
所以f(x)的極大值為，無極小值；
(Ⅲ)設(shè)F(x)=f(x)-g(x)，
對F(x)求導，得F′(x)=a²x²-2ax+a=a²x²+a(1-2x)，
因為，a＞0，所以F′(x)=a²x²+a(1-2x)＞0，
F(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，則，
依題意，只需F(x)_max＞0，
即，即a²+6a-8＞0，
解得(舍去)，
所以正實數(shù)a的取值范圍是。