Question

【題目】定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)0＜x≤1時，f（x）= ，
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在[﹣1，0）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x∈（0，1]時，方程 ﹣2x﹣m=0有解，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x∈[﹣1，0），則﹣x∈（0，1]，

f（﹣x）= = ，

∵f（x）是奇函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣ ，

∴f（x）=

（2）解：設(shè)﹣1＜x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）=﹣ + = ，

∵x1＜x2，∴ ﹣ ＜0，﹣2＜x1+x2＜0，

∴ ﹣1＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在[﹣1，0）遞減

（3）解：方程 ﹣2x﹣m=0有解，

即m=4x+1﹣2x在（0，1]上有解，

令2x=t，t∈（1，2]，

t2﹣t+1∈（1，3]，

∴m∈（1，3]

【解析】1、本題考查的是函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及解析式的求法。
2、本題考查的是用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。
3、本題考查的是復(fù)合函數(shù)根的存在情況。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．