【題目】定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）= ，
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在[﹣1，0）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，方程 ﹣2x﹣m=0有解，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【答案】
（1）解：設(shè)x∈[﹣1，0），則﹣x∈（0，1]，

f（﹣x）= = ，

∵f（x）是奇函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣ ，

∴f（x）=


（2）解：設(shè)﹣1＜x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）=﹣ + = ，

∵x1＜x2，∴ ﹣ ＜0，﹣2＜x1+x2＜0，

∴ ﹣1＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在[﹣1，0）遞減


（3）解：方程 ﹣2x﹣m=0有解，

即m=4x+1﹣2x在（0，1]上有解，

令2x=t，t∈（1，2]，

t2﹣t+1∈（1，3]，

∴m∈（1，3]


【解析】1、本題考查的是函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及解析式的求法。
2、本題考查的是用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。
3、本題考查的是復(fù)合函數(shù)根的存在情況。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ）
A.f（x）=2x
B.f（x）=xsinx
C.
D.f（x）=﹣x|x|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+x．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求所有的實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意x∈[1，4]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=x+4圖象的下方．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R的函數(shù)f（x）滿足以下條件：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；
②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；
③f（1）=1．
（1）求f（2），f（0）的值；
（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5對(duì)任意x恒成立，求a的取值范圍；
（3）求不等式 的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2（x﹣a）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值h（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0 ， 則稱x0是f（x）的一個(gè)“開心點(diǎn)”，也稱f（x）在區(qū)間D上存在開心點(diǎn)．若函數(shù)f（x）=ax2﹣2x﹣2a﹣ 在區(qū)間[﹣3，﹣ ]上存在開心點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.[﹣ ，0]
C.[﹣ ，0]
D.[﹣ ，﹣ ]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）= ，則關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列四個(gè)命題中，正確的是（ ）
A.奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)
B.y=x2+1（﹣4＜x≤4）是偶函數(shù)
C.y=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函數(shù)
D.y=x+1是奇函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列判斷中正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)
B. 是奇函數(shù)
C. 是偶函數(shù)
D. 是奇函數(shù)

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