Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，它在點處的切線為直線．

（Ⅰ）求直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知點為橢圓上一點，求點到直線的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）對曲線的極坐標方程兩邊乘以化為直角坐標方程.利用導數(shù)可求得曲線在處的切線方程.（2）設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，利用點到直線距離公式和三角恒等變換的知識，可求得到直線距離的取值范圍.

試題解析：

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

解：（Ⅰ）∵曲線的極坐標方程為，

∴，∴曲線的直角坐標方程為，

又的直角坐標為（2,2），

∵，∴.

∴曲線在點（2,2）處的切線方程為，

即直線的直角坐標方程為.

（Ⅱ）為橢圓上一點，設(shè)，

則到直線的距離，

當時，有最小值0.

當時，有最大值.

∴到直線的距離的取值范圍為[0, ].