Question

如圖，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形AA₁B₁B是菱形，四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°．
（1）求證：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求B₁C₁到平面A₁CB的距離；
（3）求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC
∴AB⊥BC，BC⊥BB₁，AB∩BB₁=B
∴CB⊥平面A₁ABB₁
∵CB∈平面CA₁B
∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）依題意的：A₁B=2，AB₁=2，B₁C=，A₁C=
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁?平面A₁CB，BC?平面A₁CB
∴B₁C₁∥平面A₁CB
則B₁C₁到平面A₁CB的距離等于點(diǎn)C₁到平面A₁CB的距離為 H′
∵△A₁CB的面積S₁=1
∵AB₁⊥A₁B，CB⊥AB₁
∴AB₁⊥平面A₁CB
∴三棱錐C₁-A₁CB的體積等于三棱錐B₁-A₁CB的體積
∴H′=AB₁=
即B₁C₁到平面A₁CB的距離等于
（3）設(shè)A₁到平面BCC₁B₁的距離為H
∴平行四邊形BCC₁B₁的面積S=2，
則△A₁B₁C₁的面積為1，BB₁=2．
由棱錐A₁-BCC1B1的體積等于棱錐B-A₁B₁C₁的體積，
得：H=
∴sinθ=
∴直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正切值 tanθ=
分析：（1）由已知中四邊形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，我們易由線面垂直的判定定理得到CB⊥平面A₁ABB₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，及AB⊥BC，CB=1，AB=2，∠A₁AB=60°，我們易求出幾何體中各線段的長(zhǎng)，由線面平行的判定定理，可得到B₁C₁∥平面A₁CB，則B₁C₁到平面A₁CB的距離可轉(zhuǎn)化為B₁C₁上任一點(diǎn)（如B₁點(diǎn)）平面A₁CB的距離，利用等體積法，可得到結(jié)論．
（3）要求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角，我們可根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算出A₁點(diǎn)到平面BCC₁B₁距離，結(jié)合A₁C=，利用線面夾角的定義，構(gòu)造三角形即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中（2），（3）中的等體積法，是轉(zhuǎn)化思想在解答點(diǎn)到平面距離問題中最常用的方法．