如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極值,稱點(x0,f(x0))是函數(shù)f(x)的一個極值點.已知函數(shù)f(x)=(ax-b)e
a
x
(x≠0且a≠0)
(1)若函數(shù)f(x)總存在有兩個極值點A,B,求a,b所滿足的關(guān)系;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點A,B,且存在a∈R,求A,B在不等式|x|<1表示的區(qū)域內(nèi)時實數(shù)b的范圍.
(3)若函數(shù)f(x)恰有一個駐點A,且存在a∈R,使A在不等式
|x|<1
|y|<e2
表示的區(qū)域內(nèi),證明:0≤b<1.
分析:(1)先對函數(shù)求導(dǎo),若函數(shù)f(x)總存在有兩個極值點?f′(x)=0有兩個根,從而確定a,b的關(guān)系
(2)轉(zhuǎn)化為在(-1,1)內(nèi)f′(x)=0有兩個不等實根
結(jié)合(1)及根的分布可知,
a2<4b
-1<
a
2
<1
f(1)>0
f(-1)>0
?
a2<4b
-2<a<2
a+b+1>0
a-b-1<0
,從而求b的取值范圍
(3)若函數(shù)f(x)恰有一個極值點且存在a∈R,使A在不等式①
|x <1
|y|<e
?x2-ax+b=0的根在①的區(qū)域內(nèi)只有一個,結(jié)合根的分別可求結(jié)果.
解答:解:(1)f′(x)=a•e
a
x
+(ax-b)(-
a
x2
)•e
a
x

令f'(x)=0得x2-ax+b=0
∵函數(shù)f(x)總存在有兩個極值點
∴x2-ax+b=0由2個不同的實數(shù)根
∴a2-4b>0
又∵a≠0且x≠0
b<
a2
4
且b≠0
(3分)
(2)x2-ax+b=0在(-1,1)有兩個不相等的實根.
△=a2-4b>0
-1<
a
2
<1
1+a+b>0
1-a+b>0
4b>a2
a2<4
b<-1

∴-1<b<1且b≠0(7分)
(3)由①f'(x)=0?x2-ax+b=0(x≠0)
①當b=0f′(x)=a•e
a
x
x2-ax+b
x2
在x=a左右兩邊異號
∴(a,f(a))是y=f(x)的唯一的一個極值點
由題意知
-1<a<1且a≠0
-e<(a2-b)e<e
0<a2<1
-1<a2<1
即0<a2<1
存在這樣的a的滿足題意
∴b=0符合題意(9分)
②當b≠0時,f′(x)=
a•e
a
x
x2
(x2-ax+b)

△=a2-4b=0即4b=a2
這里函數(shù)y=f(x)唯一的一個駐點為(
a
2
,f(
a
2
))

由題意
|
1
2
a|<1且a≠0
-e<
a2
2
-b<e

0<a2<4
-e
1
2
a2
2
-b<e
1
2
0<4b<4
-e
1
2
<b<e
1
2

∴0<b<1(13分)
綜上知:滿足題意b的范圍為b∈[0,1).(14分)
點評:本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件及有限制條件的極值的取值,結(jié)合二次函數(shù)的圖象,轉(zhuǎn)化為實根分布問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

12、函數(shù)y=f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)y=f(x)在點p(x0,f(x0))處的切線為:l:y=g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0),F(xiàn)(x)=f(x)-g(x),如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象如圖所示,且a<x0<b,那么( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有一段“三段論”推理是這樣的:對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函數(shù)f(x)的極值點,因為函數(shù)f(x)=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值f′(0)=0,所以,x=0是函數(shù)f(x)=x3的極值點.以上推理中( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有這樣一段“三段論”推理,對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),大前提:如果f’(x0)=0,那么x=x0是函數(shù)f(x)的極值點;小前提:因為函數(shù)f(x)=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值f’(0)=0,結(jié)論:所以x=0是函數(shù)f(x)=x3的極值點.以上推理中錯誤的原因是
大前提
大前提
錯誤(填大前提、小前提、結(jié)論).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極值,稱點(x0,f(x0))是函數(shù)f(x)的一個極值點.已知函數(shù)f(x)=(ax-b)e
a
x
(x≠0且a≠0)
(1)若函數(shù)f(x)總存在有兩個極值點A,B,求a,b所滿足的關(guān)系;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點A,B,且存在a∈R,求A,B在不等式|x|<1表示的區(qū)域內(nèi)時實數(shù)b的范圍.
(3)若函數(shù)f(x)恰有一個駐點A,且存在a∈R,使A在不等式
|x|<1
|y|<e2
表示的區(qū)域內(nèi),證明:0≤b<1.

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