Question

如圖棱長是1的正方體，P、Q分別是棱AB、CC₁上的點，且

AP

PB

=

CQ

QC1

=2．
（1）求證：A₁P⊥平面AQD；
（2）求直線PQ與平面AQD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證A₁P⊥平面AQD，只需要證明A₁P⊥AD，AR⊥A₁P，利用三角形的全等可得AR⊥A₁P，從而得證．
（2）求直線PQ與平面AQD所成角的正弦值，關(guān)鍵是尋找斜線PQ在平面內(nèi)的射影，由（1）易得A₁P與AR交于點S，連接SQ，則∠PQS即為PQ與平面AQD所成角，從而可解．

解答：證明：（1）平面AQD與側(cè)棱B₁B的交點是R，
顯然

BR

RB1

=2，在正方形ABB₁A₁中
由

AP

PB

=

BR

RB1

=2可得△A1AP≌△ABR
所以AR⊥A₁P，
又AA₁⊥平面ABCD，AP⊥AD，得A₁P⊥AD，
∴A₁P⊥平面AQD
（2）設(shè)A₁P與AR交于點S，連接SQ，則∠PQS=θ即為PQ與平面AQD所成角．
在Rt△PQS中，|PS|=

4

3 13

，|PQ|=

14

3

，∴sinθ=

|PS|

|PQ|

=

4

182

=

2 182

91

，
即直線PQ與平面AQD所成角的正弦值是

2 182

91

．

點評：本題的考點是直線與平面所成的角，主要考查線面垂直，考查線面角，關(guān)鍵是利用線面垂直的定義，尋找斜線在平面內(nèi)的射影．