Question

設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且當x∈[-2，0]時，f（x）=-1，若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

Answer 1

【答案】分析：由已知中f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），我們可以得到函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且周期為4，則不難畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象，結合方程的解與函數(shù)的零點之間的關系，我們可將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數(shù)解，轉化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=）-log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數(shù)形結合即可得到實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：∵對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象如下圖所示：

若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數(shù)解
則log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：＜a＜2
故選D
點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數(shù)零點問題，是解答本題的關鍵．