Question

已知f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，-2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)，若g（x）＞0在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意先求出導(dǎo)函數(shù)，再求出f′（1），然后利用函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，-2）建立的方程求解即可．
（2）由題意先求出g（x）的解析式，然后找函數(shù)在定義域下的最小值，讓最小值還大于0，解出a的范圍．
解答：解：（1）由已知得，∴
又f（0）=-2∴
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得
定義域?yàn)椋?1，+∞），
∴．
∵a≠0
令g'（x）=0得
①當(dāng)a＞0時(shí)，且在區(qū)間上g，（x）＞0，
在區(qū)上g′（x）＜0．
∴處取得極小值，也是最小值．
∴
由a+a（-lna-2）＞0得．∴．
②當(dāng)a＜0時(shí)，
在區(qū)間（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減，沒有最值
綜上得，a的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)法則，函數(shù)在定義域下恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值并讓最小值還大于0進(jìn)而得出答案，在運(yùn)算中又考查了分類討論的思想．