Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n=1，若數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列．b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N*，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，求出數(shù)列{S_n+1}的通項公式，再根據(jù)當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
以及a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中所求數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，求出數(shù)列{b_n}，再根據(jù)數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．
解答：解：（I）∵a₁=1，且數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列．∴S₁+1=2∴，
∴S_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，又∵a₁=1，∴a_n=2^n-1（n∈N^*）
（II）∵b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，∴b_n=[2n+（-1）ⁿλ]2^n-1
∴b_n+1=[2（n+1）+（-1）ⁿ⁺¹λ]2ⁿ=2^n-1[4n+4-2（-1）ⁿλ]
∴b_n+1-b_n═2^n-1[2n+4-3（-1）ⁿλ]＞0
∴2n+4＞3（-1）ⁿλ，
當(dāng)n為奇數(shù)時，2n+4＞-3λ，∴6＞-3λ，∴λ＞-2；
當(dāng)n為偶數(shù)時，2n+4＞3λ，∴8＞3λ，∴λ＜
綜上所述，＞λ＞-2
點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列前n項和與通向=項之間的關(guān)系，以及根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求范圍，做題時要認(rèn)真分析．