Question

已知離心率為

3

2

的橢圓C，其長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）試判斷乘積“k₁•k₂”的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)k₁=

1

2

，在橢圓C上求點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線PA₂的距離最大．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先利用橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點(diǎn)求出頂點(diǎn)A₁，A₂的坐標(biāo)，再利用離心率為

3

2

，即可求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直接利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出k₁•k₂的值即可判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)；
（3）求出與PA₂平行的橢圓C的切線方程為x+2y+m=0，與橢圓C聯(lián)立，利用△=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）雙曲線

x2

3

-y²=1的左右焦點(diǎn)為（±2，0），即A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0）．
∴設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則a=2，
∵離心率為

3

2

，
∴c=

3

，從而b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）則

x02

4

+y02=1，即y02=

4-x02

4

∴k₁•k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

1

4

，
∴k₁•k₂的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，恒為-

1

4

；
（3）由（2）知當(dāng)k₁=

1

2

時(shí)，k₂=-

1

2

，故直線PA₂的方程為y=-

1

2

（x-2），即x+2y-2=0，
設(shè)與PA₂平行的橢圓C的切線方程為x+2y+m=0，
與橢圓C聯(lián)立得

x2 4 +y2=1 x+2y+m=0

消去x得8y²+4my+m²-4=0…（*）
由△=（4m）²-4•8•（m²-4）=0，解得m=2

2

或m=-2

2

（舍去），
代入（*）可解得切點(diǎn)坐標(biāo)(-

2

，-

2

2

)即為所求的點(diǎn)Q．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線上兩點(diǎn)的斜率公式、考查學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．