Question

（已知工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x（萬件）間的關(guān)系為p=

1 6-x ，0＜x≤c 2 3 ，x＞c.

(其中c為常數(shù)，且0＜c＜6)，每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元． （I）將日盈利額y（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；（Ⅱ）為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？

Answer 1

分析：（I）要求日盈利額y（萬元），只要找出日產(chǎn)量x（萬件）中正品與次品的數(shù)量，根據(jù)分段函數(shù)分段研究，針對(duì)不同的次品率得到不同的正品與次品數(shù)即可；
（Ⅱ）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＞c時(shí)，p=

2

3

，∴y=

1

3

•x•3-

2

3

•x•

3

2

=o當(dāng)0＜x≤c時(shí)，p=

1

6-x

，
∴y=(1-

1

6-x

)•x•3-

1

6-x

•x•

3

2

=

3

2

•

9x-2x2

6-x

∴日盈利額y（萬元）與日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系為y=

3(9x-2x2) 2(6-x) ，0＜x≤c 0，x＞c.

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x＞c．時(shí)，日盈利額為0．當(dāng)0＜x≤c時(shí)，
∵y=

3(9x-2x2)

2(6-x)

，∴y′=

3

2

•

(9-4x)(6-x)+(9x-2x2)

(6-x)2

=

3(x-3)(x-9)

(6-x)2

，
令y'=0得x=3或x=9（舍去）∴①當(dāng)o＜c＜3時(shí)，∵y'＞0，∴y在區(qū)間（0，c]上單調(diào)遞增，
∴y最大值=f(c)=

3(9c-2c2)

2(6-c)

，此時(shí)x=c；
②當(dāng)3≤c＜6時(shí)，在（0，3）上，y'＞0，在（3，6）上y'＜0，∴y最大值=f(3)=

9

2

，
綜上，若0＜c＜3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時(shí)，日盈利額最大；
若3≤c＜6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時(shí)，日盈利額最大

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用與計(jì)算以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，要求熟練掌握求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性解決問題，是中等題．