Question

16．在三棱錐P一ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC為邊長為2的正三角形，PA=$\sqrt{3}$，則AP與平面PBC所成的角為（　�。�

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AP與平面PBC所成的角的大�。�

解答 ：以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，2$），
設(shè)AP與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°．
∴AP與平面PBC所成的角為45°．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．