Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），向量

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 3

3

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且cosβ=

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（cosα，sinα），向量

b

=（cosβ，sinβ），可得cos（α-β）=

a

•

b

，我們可以先求出向量|

a

|=|

b

|=1，再由|

a

-

b

|=

2 3

3

，我們可以求出

a

•

b

的值．
（2）由已知中0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且cosβ=

5

13

，結(jié)合（1）中結(jié)論，我們可以求出sin（α-β）的值，及sinβ值，代入sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ即可得到答案．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosα，sinα），向量

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
又∵|

a

-

b

|=

2 3

3

．
∴|

a

-

b

|²=

4

3

=|

a

|²+|

b

|²-2

a

•

b

∴

a

•

b

=cos（α-β）=

1

3

（2）∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，
∴0＜α-β＜π
由（1）中cos（α-β）=

1

3

，得sin（α-β）=

2 2

3

∵cosβ=

5

13

，∴sinβ=-

12

13

∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ
=

10 2 -12

39

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的模，平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)給值求值問(wèn)題，是平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式得到

a

•

b

=cos（α-β），（2）的關(guān)鍵是分析出sinα=sin[（α-β）+β]，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩角和的正弦值問(wèn)題．