設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．

解：（Ⅰ）證明：

故函數(shù)在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：（數(shù)學(xué)歸納法證明）（i）當(dāng)n=1時，

由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立；

（）假設(shè)當(dāng)時，成立，即

那么當(dāng)時，由在區(qū)間是增函數(shù)，得

.而，則，

，也就是說當(dāng)時，也成立；

根據(jù)（）、（）可得對任意的正整數(shù)，恒成立.

 （Ⅲ）證明：由．可得

                                

1， 若存在某滿足，則由⑵知：

2， 若對任意都有，則

，即成立.

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設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足．

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⑵設(shè)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

⑶是否存在以為首項，公比為的數(shù)列，，使得數(shù)列中每一項都是數(shù)列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列的通項公式；若不存在，說明理由

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設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．

 

 

 

 

 

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