Question

7．在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AEC
（2）求證：PB⊥AC．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于點(diǎn)O，則OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（2）設(shè)AD中點(diǎn)為F，連接BF、PF，推導(dǎo)出AC⊥BF，PF⊥AD，從而PF⊥AC，由此能證明AC⊥PB．

解答 證明：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，
∵ABCD是矩形，∴O是BD中點(diǎn)，…（1分）
又∵E是PD中點(diǎn)，
∴OE是△DBP的中位線，
∴OE∥PB，…（2分）
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，…（4分）
∴PB∥平面AEC． …（5分）
（2）設(shè)AD中點(diǎn)為F，連接BF、PF．
∵PA=PD=AB=a，
∴AD=BC=$\sqrt{2}a$，AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$．
△△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（8分）
又PA=PD，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，∴PF⊥AD，…（9分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PF?平面PAD，
∴PF⊥面ABCD，…（10分）
∵AC?平面ABCD，∴PF⊥AC，
∵PF∩BF=F，…（11分）
∴AC⊥平面PBF，∵PB?平面ABCD，
∴AC⊥PB．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．