已知直線(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R)所經(jīng)過的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(7分)
(Ⅱ)已知圓O:x2+y2=1,直線l:mx+ny=1.試證明當(dāng)點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l與圓O恒相交;并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍.(8分)
分析:(Ⅰ)由直線(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R)過定點(diǎn),可得x-y-3+k(x-3)=0,即
,解得定點(diǎn)F;設(shè)橢圓C的方程
+=1(a>b>0),則
,解得a、b,即得橢圓C的方程.
(Ⅱ)點(diǎn)P(m,n)在橢圓C上,則
1=+<m2+n2,從而得圓心O到直線l的距離
d=<1=r,即直線l與圓O相交;直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為
L=2=2,
可得L的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由(k+1)x-y-3-3k=0(k∈R),得x-y-3+k(x-3)=0,
則由
,解得定點(diǎn)F(3,0);
設(shè)橢圓C的方程為
+=1(a>b>0),則
,解得
;
所以橢圓C的方程為
+=1.
(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)P(m,n)在橢圓C上運(yùn)動(dòng),所以
1=+<m2+n2,從而圓心O到直線l:mx+ny=1的距離
d=<1=r,所以直線l與圓O恒相交;
又直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為
L=2=2=
2,
由于0≤m
2≤25,所以
16≤m2+16≤25,則
L∈[,],
即直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是
L∈[,].
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與橢圓,直線與圓的綜合應(yīng)用問題,也考查了直線過定點(diǎn)的問題;解題時(shí)要認(rèn)真分析,靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí),細(xì)心解答.