Question

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：萬元）對(duì)年銷售量（單位：噸）和年利潤(rùn)（單位：萬元）的影響.對(duì)近六年的年宣傳費(fèi)和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016
年宣傳費(fèi)（萬元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量（噸）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關(guān)系式，即.對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（2）規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量（噸）與年宣傳費(fèi)（萬元）的比值在區(qū)間內(nèi)時(shí)認(rèn)為該年效益良好.該公司某年投入的宣傳費(fèi)用（單位：萬元）分別為：、、、、、，試根據(jù)回歸方程估計(jì)年銷售量，從這年中任選年，記其中選到效益良好年的數(shù)量為，試求隨機(jī)變量的分布列和期望.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）由題意，令，，結(jié)合線性回歸方程計(jì)算公式可得題中的線性回歸方程為.

（2）由題意可得：年中有三年是“效益良好年”，，由超幾何分布可得其分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望為.

詳解：（1）對(duì)，兩邊取對(duì)數(shù)得，令，

得，由題給數(shù)據(jù)，得：，，

，，于是：

，

，得，

故所求回歸方程為.

（2）由，于是，即年中有三年是“效益良好年”，

，由題得；，

；

所以的分布列如表所示，

	0	1	2	3

且.