Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，a∈R．
（Ⅰ）不論a為何值時，f（x）不是奇函數(shù)；
（Ⅱ）若對任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）有兩個不同的零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=1+a+1=0，求出a，再驗證，即可得出不論a為何值時，f（x）不是奇函數(shù)；
（Ⅱ）若對任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，則a≤2015•2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，求最大值，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，利用f（x）有兩個不同的零點，可定h（t）=t²+at+1有兩個不同的正的零點，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，則f（0）=1+a+1=0，
∴a=-2，
∵f（1）=$\frac{1}{4}$，f（-1）=1，
∴f（-1）≠f（1）
∴不論a為何值時，f（x）不是奇函數(shù)；
（Ⅱ）若對任意x∈[0，1]，不等式f（x）≤2016恒成立，則a≤2015•2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
設(shè)g（x）=2015•2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，x∈[0，1]，則函數(shù)是增函數(shù)，
∴a≤g（0）=2014；
（Ⅲ）令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵f（x）有兩個不同的零點，
∴h（t）=t²+at+1有兩個不同的正的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=1＞0}\\{-\frac{a}{2}＞0}\\{{a}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
∴a＜-2．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查恒成立問題，考查函數(shù)的零點，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．