Question

下列幾個(gè)命題：
 （1）函數(shù)f（x）=xⁿ+a^x-1（n∈Z，a＞0，a≠1）的圖象必過(guò)點(diǎn)（1，2）；
 （2）f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
 （3）函數(shù)y=f（x）值域是[-3，3]，則函數(shù)y=f（x-2）值域是[-1，5]；
 （4）設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
 （5）y=|3-x²|圖象與直線y=a有k個(gè)公共點(diǎn)，則k的值不可能是1；
 上述五個(gè)命題中所有正確的命題序號(hào)是

①④⑤

．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=2即可判斷（1）正確；
（2）依題意，可求得x=±2，從而可得f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)；
（3）利用函數(shù)的性質(zhì)可知，左右平移不改變其值域，從而可知（3）的正誤；
（4）利用1-x+（x-1）=0，即可判斷（4）的正誤；
（5）在同一直角坐標(biāo)系中作出曲線y=|3-x²|與直線y=a的圖形，分析即可判其正誤．

解答：解：（1）∵f（x）=xⁿ+a^x-1（n∈Z，a＞0，a≠1），
∴f（1）=1ⁿ+a^1-1=1+1=2，
故函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)（1，2），即（1）正確；
（2）由

x2-4≥0 4-x2≥0

得4≤x²≤4，即x²=4，x=±2，
∵f（2）=f（-2）=0，f（-2）=-f（2）=0，
∴f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函數(shù)，也是奇函數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x-2）是由函數(shù)y=f（x）向右平移2個(gè)單位得到的，圖象上下沒(méi)有平移，值域不變，是[-3，3]，故（3）錯(cuò)誤；
（4）∵1-x+（x-1）=0，函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，
∴函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，（4）正確；
（5）∵y=|3-x²|，直線y=a有k個(gè)公共點(diǎn)，其圖象如下，
由圖知，當(dāng)a＜0時(shí)，無(wú)公共點(diǎn)；
當(dāng)a=0或a＞3時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜3時(shí)有四個(gè)公共點(diǎn)；
∴y=|3-x²|圖象與直線y=a有k個(gè)公共點(diǎn)，k的值不可能是1，（5）正確．
綜上所述，上述五個(gè)命題中所有正確的命題序號(hào)是①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查的奇偶性與對(duì)稱性，考查直線與與二次曲線的相交問(wèn)題，著重考查分析、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．