Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（2）

【解析】

（1）求出定義域、，分，兩種情況進(jìn)行討論，通過(guò)解不等式，可得單調(diào)區(qū)間；

（2）令，則，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最大值問(wèn)題．求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論可求得函數(shù)的最大值；

（1）解：因?yàn)?/span>，其中.所以，

當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，令，得，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）令，則，

根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，恒成立.

所以，

①當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立.

所以在上是增函數(shù)，且時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，不會(huì)恒成立，故不符題意.

②當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立.

所以在上是增函數(shù)，且，時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，不會(huì)恒成立，故不符題意.

③當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒有，故在上是減函數(shù)，

于是“對(duì)任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故.

綜上所述，的取值范圍是.