Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|＞（i=1，2，3）．求證：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理得：f（x）=ax+，再對字母a進行分類討論：當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，分別得出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）由條件知：x₁，x₂，x₃中至多一個負(fù)數(shù)． 再分類討論：（ⅰ）若x₁，x₂，x₃都為正數(shù)；（ⅱ）若x₁，x₂，x₃中有一負(fù)數(shù)，最后綜合得到f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2．
解答：解：整理得：f（x）=ax+
（1）當(dāng)a≤0時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，0）和（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的減區(qū)間為（-，0）和（0，），增區(qū)間為（-∞，-）和（，+∞）…（5分）
（2）由條件知：x₁，x₂，x₃中至多一個負(fù)數(shù)．   …（6分）
（�。┤魓₁，x₂，x₃都為正數(shù)，由（1）可知|x_i|＞時，f（|x_i|）＞f（）=2 （i=1，2，3）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞6＞2 …（9分）
（ⅱ）若x₁，x₂，x₃中有一負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x₃＜0．
∵x₂+x₃＞0且|x₃|＞，
∴x₂＞-x₃＞
∴f（x₂）＞f（-x₃）=-f（x₃）（∵f（x）為奇函數(shù)）
∴f（x₂）+f（x₃）＞0
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞f（x₁）＞f（）=2  …（11分）
綜上，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2．…（12分）
點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性，以及利用函數(shù)單調(diào)性進行求解最值，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．