Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有
f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且
①求{a_n}通項(xiàng)公式．
②當(dāng)a＞1時，不等式對不小于2的正整數(shù)恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），x＜0時，f（x）＞1
令x=-1，y=0則f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，則f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
故
故x∈Rf（x）＞0
任取x₁＜x₂f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴0＜f（x₂-x₁）＜1
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在R上減函數(shù)

（Ⅱ）①
由f（x）單調(diào)性知，a_n+1=a_n+2故{a_n}等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
②，則
=是遞增數(shù)列
當(dāng)n≥2時，
∴
即log_a+1x-log_ax+1＜1?log_a+1x＜log_ax
而a＞1，
∴x＞1
故x的取值范圍：（1，+∞）
分析：本題考查的是抽象函數(shù)與數(shù)列的綜合問題．在解答時，對（Ⅰ）可以先利用特值解得f（0），再利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；對（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)易求，再結(jié)合，可知數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1從而①即可解答；對②利用等差數(shù)列的知識可求的不等式左邊的和進(jìn)而獲得最小值從而找到有關(guān)x的不等式，最終即可獲得解答．
點(diǎn)評：本題考查的是抽象函數(shù)與數(shù)列的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象函數(shù)特值的思想、數(shù)列求和的思想、恒成立的思想以及解不等式和問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思．